江苏省中小学教学研究

2013年度第十期立项课题

《数学基本思想在小学教学中的渗透研究》

结 题 报 告

建湖县实验小学课题组

一、课题研究的背景   

（一）问题的提出

许多发达国家在数学教学中非常重视让学生掌握基本的数学思想方法，正如日本数学史家米山国藏所指出的：“不管他们（指学生）从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时随地地发生作用，使他们受益终生。”强调数学思想方法的教学早已成为各发达国家的一致共识。现代社会已经更多的要求学生从小就受到数学思想方法的熏陶与启迪，以便为将来能够解决社会所面临的实际问题而打好基础，这也已成为我国的共识。如果不注重数学思想方法教学将会是我国数学教育的一种严重缺陷。

对于小学中数学思想方法的渗透，人们早已开始研究，侧重点在于有哪些数学思想方法，这些数学思想方法的渗透可以带来哪些好处，有哪些意义等。但是长期以来，由于对数学教学效果的评价总是围绕着对“显性知识”的掌握而展开的，看学生是否记住了数学公式、概念、定理等等，是否会用某种方法解题，是否会用某种规则进行运算、推理，并把这些作为考试、考察的基本指标，许多教师的数学教学变成了单纯的“解题教学”，相对削弱了对学生“数学思想方法”的有效考察，影响了学生的数学能力和数学智能的均衡发展。

近一段时期以来，小学阶段对于数学思想方法在教学中的渗透已开始受到重视，而随着课程改革的不断深入，在小学数学教学实践中有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法也开始成为当前数学教学的重点之一，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）提出：“学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。”因此，在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学教学进行素质教育的真正内涵之所在。但是在界定和刻画适于义务教育阶段学生领悟和掌握的数学思想方法方面，多注重整体上如何渗透各类数学思想，而如何细致地分阶段去研究和实践数学思想方法、数学思想方法如何渗透等所积累的研究成果却还不够充分。

(二)课题的核心概念及其界定

1.数学基本思想。

⑴思想：即观念，是社会现实在意识中的反映，属于抽象的、概括的、上位的、顶层的概念。

⑵数学思想：是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实和数学理论的本质认识，它是数学科学发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓。

⑶数学基本思想：它是众多数学思想中具有本质特征和基本重要性的一些思想，是数学发展历程中及个体数学知识系统建构过程中起着关键和核心作用的思想。

2．教学中的渗透。

⑴渗透：比喻一种事物或势力逐渐进入到其他方面（多用于抽象事物），它是小学阶段数学基本思想的主要教学形态，程度上明显低于介绍和突出，也就是把某些抽象的数学思想逐渐地融入到具体、实在的数学知识中，从而使学生对这些思想有一些初步的感知。

⑵教学中的渗透：这里至少包含三层含义：一是数学基本思想要以数学知识为载体，通过数学知识得以显化；二是强调体验和总结数学基本思想的过程，也就是要通过潜移默化的手段使得数学基本思想扎根于学生的头脑之中，逐步成为一种意识、观念和素质，并为其后来的学习和生活服务；三是注意渗透行为的阶段性和长期性，强调在学习过程中逐步积累，加深感悟。

（三）国内外相关研究领域现状述评及研究意义

1.同一领域的研究现状。

数学基本思想教学的源头可追溯到教育部1978年颁布的《全日制学校小学数学教学大纲（试行草案）》，该大纲在“教学内容的确定”中首次提出要“适当渗透一些现代的数学思想”。其后在我国颁布的一系列大纲、标准中都提及了数学思想，但功能基本定位于“通过渗透数学思想加深对数学基础知识的理解”。 《义务教育数学课程标准（2011版）》在“课程总目标”中直接指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。这标明“数学基本思想”已成为数学课程整体目标的一个有机组成部分，这是对我国数学重视“双基”这一传统的继承和发展。近来修订新课标的专家、相关权威人士、多家媒体杂志陆续发表了一些论述，但各自的角度不同，远没有就这些概念的内涵和外延达成一致的认识。按时间排序，比较有影响的有：日本米山国藏《数学的精神、思想和方法》（1986），蔡上鹤《数学思想和方法》（1997），邵光华《作为教育任务的数学思想和方法》（2009），徐利治《数学方法论选讲》（2000），王永春《小学数学思想方法的梳理》（2010），史宁中《数学思想概论》（2010）等。概括起来，这些论述有如下几个特点：一是多指向于中学、大学的数学思想方法及教学，似空中楼阁；二是在指向小学领域的研究中，大部分是笼统的描述，少有具体可操作的模式及鲜活案例，似雾里看花。

2.课题研究的价值。

对于教师教育教学的价值。教师如果能从外显的知识中把握其中蕴含的数学基本思想，就能从整体上、本质上去理解教材，以较高的视点分析和处理教材，也才能明确运用数学思想方法展开知识的形成过程，科学地、灵活地设计教学方法，以提高课堂教学效率。明晰数学思想方法是构成数学教师业务素质的关键因素之一，教师水平的高低一定程度上反映在对数学思想方法的领悟程度上。教师只有努力提高自身的数学素养，才能帮助学生科学地思考问题，有效地提高学生的数学素质。

对于学生数学学习的价值。与数学概念和原理这些关于客观世界数形特征的显性知识相比，数学基本思想具有一定的永恒性和普遍的实用性，它是学生形成思维能力、分析和解决问题能力以及创新精神和实践能力的重要基础。重视数学思想方法有利于学生更好地理解和掌握相关的数学内容，有利于学生形成良好的知识结构，有利于真正提高学生的数学素养并使他们终身受益。

二、理论依据

自20世纪以来，许多著名的数学家都曾从事过数学思想方法理论的研究，并获得丰富的研究成果，这些成果为我们今天研究数学思想方法的教学提供了理论基础。

（一）波利亚是20 世纪最伟大的数学思想家,他的解题思想具有划时代的贡献。波利亚所著的《数学与猜想》、《怎样解题》中为数学思想方法的教学提供了理论模式，波利亚解题思想都蕴含丰富的数学思想方法。  

（二）日本数学教育家米山国藏于1969年发表了《数学的精神、思维与方法》，该书系统论述了贯穿于整个数学的数学精神、一些重要数学思想与若干有效的数学方法。他指出的：“不管他们（指学生）从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时随地地发生作用，使他们受益终生。”  

（三）苏联数学教育家斯托利亚尔在《数学教育学》有这样的论述：“……把数学建立在现代化数学思想基础上，使学生的思维向现代数学思维发展。”“数学教学是数学领域的思维活动、认识活动的教学。”  

（四）在我国数学界，特别是数学教育界对数学思想方法及其教学的研究获得了广泛重视。这期间徐利治、郑毓信、张奠宙教授等的论著对我国数学教育界开展此项研究有重要的指导意义。我国《全日制义务教育数学课程标准》中提出“数学教学活动要帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”的目标。  

（五）美国心理学家布鲁纳的基本结构理论认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理。”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分。他认为：懂得基本原理使得学科更容易理解，有利于记忆，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”，这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。

三、研究目标、重点

（一）研究的目标。

1.通过研究，转变教师的数学教育教学观念，使其认识到感悟数学基本思想是学生必备的数学素养之一，明白数学基本思想在数学学习中的价值，提高在日常教学中渗透数学基本思想的意识。

2.通过研究，使老师们能从数学学科的本质去审视小学数学及数学教育，把握数学基本思想的特征，梳理出现行小学数学教材中所体现的数学基本思想，进行归类、概括。

3.通过研究，找到一些数学基本思想的教学策略，积累一些鲜活的渗透数学基本思想的案例，提高数学教育教学的水平，为学生全面提高数学素养提供支撑。

（二）研究的内容（子课题设计）。

1.数学基本思想的特征及类别研究；

2.数学基本思想在苏教版小学数学教材中的体现研究；

3.数学基本思想渗透的课例及策略研究。

（三）研究的重点。

数学基本思想渗透的课例及策略研究。

四、研究的思路、过程与方法。

(一)研究的思路。

本课题的研究将首先从理论学习开始，认真研讨有关数学基本思想的论著，把握特征，明确内涵。在有了一定的理论支撑下梳理苏教版小学数学教材，弄清数学基本思想在文本中的呈现节点及方式。结合课堂教学行为，研讨教学的策略，用典型的案例进行反思，逐步形成各具特色的渗透数学基本思想的教学模式。课题研究立足于课堂，分阶段落实到参与研究学校具体的教科研活动之中，按时组织教研活动，及时组织经验总结，适时组织交流推广，确保课题研究活动正常、有序开展。

（二）研究的过程。

本课题研究的时间为2013年6月～2016年12月，共分为3个研究阶段。

准备阶段（2013年6月～2013年11月）：成立课题组，申报课题，对研究课题进行论证，制订课题研究方案。培训教师，制订课题实施计划，收集课题学习资料准备进行研究。

实施阶段（2013年12月～2015年9月）：开题，按计划开展课题研究，建立课题资料档案，调查、收集、积累和分析有关材料，系统整理小学阶段的数学基本思想，进行相关的课堂教学研究，提炼比较可行的数学基本思想的教学策略，撰写课题实验研究论文、阶段性报告，组织相关的课堂教学研究等。

总结阶段（2015年9月～2015年12月）：收集各类研究资料，编辑论文和案例集，系统整理研究过程中获得的经验，做好课题后期调研工作，请专家对课题成果作初步鉴定。在此基础上，对整个研究脉络进行反思、梳理，提升理论和实践价值，撰写课题报告，进行成果鉴定。

（三）研究的方法。

文献研究法：查阅、检索相关文献资料，了解数学基本思想教学的研究现状，吸收和借鉴先进的理念，深入挖掘课题理论的深厚底蕴，及时洞悉研究的最新动态，给课题实验与研究以有力的指导。

调查研究法：运用观察、访谈、问卷等方式收集研究问题的资料，对目前小学数学课堂教学中数学基本思想教学的现状及相关影响因素进行调查。通过分析、综合、比较与归纳，制定研究的路线。

行动研究法：边实践边总结边研究，及时反馈、修订行动方案，在行动中研究，在研究中行动，不断优化小学数学课堂中渗透数学基本思想的教育教学行为。

案例研究法：要求研究者针对某一课例、某一教学阶段或者是某一学生发展时期等进行个案研究最终提炼出共性的结论。

经验总结法：组织参加课题研究的人员，不断交流，总结经验，把在实践中获得的感性认识上升到理性认识，获得一定的规律。及时地总结，做到理论与实践的结合。

五、主要观点与可能的创新之处。

1.课题研究的主要观点。

⑴《义务教育数学课程标准（2011年版）》体现了时代的进步和要求。数学基本思想是“课程基本理念”的重要组成部分，是“课程目标”中具有支撑作用的目标，它在“课程内容”中几乎无处不在。通过本课题的研究，必将推动参研人员对数学基本思想的更深刻认识。

⑵数学基本思想对于小学生来说，就是他们在学习过程中能够感悟到的数学思想，即在数学学习过程中“再发现”的数学思想。作为教育内容的数学，对成人而言都是现成的结果，而对于儿童来说，这些结果一点不现成，每一个都值得探索、发现。在这样的探索、发现的过程中产生的思维活动，就是支撑和推动数学发展的数学基本思想的再现。通过本课题的研究，必将推动参研人员更注重对儿童数学学习的研究，提高课堂教学效益。

2.可能的创新之处。

⑴数学基本思想主要指：数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想。人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科。通过数学推理，进一步得到大量结论，数学学科得到发展。通过数学建模，把数学应用到客观世界中，产生了巨大，又反过来促进数学科学的发展。由上述数学思想演变、派生、发展出的思想还有很多，但强调基本思想，一方面说明其重要，另一方面是为了突出数学思想的本质特征。

⑵苏教版小学数学教材在蕴涵数学思想方法时，一方面注意根据小学生的实际认知水平，通过合适的显性知识载体把最基础、最具适应性的数学思想方法融入知识的发生、发展过程之中，努力使学生在获得数学显性知识的同时受到相应数学思想方法的熏陶，对数学思想方法有一些初步的感知和直觉。另一方面，通过选取一些具有丰富数学内涵且迁移性较强的问题，让学生在应用所学知识分析、解决这些问题的过程中不断丰富对数学思想方法的体验，积累对数学思想方法的初步认识。

⑶关注数学基本思想的教学，有助于促进教师重新审视“教什么，怎么教，教得怎样；学什么，怎么学，学得怎样……”这些带有根本性的问题，为转变教学模式、教学观念、教学行为提供重要的支撑。关注数学基本思想的教学，有助于促进学习方式的改革，为改变“只听不想、只学不问、只知不识”的教学状态提供可行的参考。

六、主要研究工作

自课题立项以来，课题组在学校和有关部门的指导下，不断探索，主要做好以下几方面工作：

（一）建章立制，强化管理，保障课题研究顺利进行。

为保证课题实验的顺利开展，学校聘请县教研室相关领导做顾问，确立了以专家为引领，以名教师为中坚力量，以优秀的一线教师为先锋的研究队伍，形成强有力的三级实验网络，课题由谷诗新全面负责，瞿德军具体负责策划实施。

为进一步强化课题研究管理，学校制定了《建湖县实验小学课堂教学基本要求》、《建湖县实验小学学生基本素养课堂训练指南》、《建湖县实验小学课题研究制度》、《建湖县实验小学课题研究指导意见》、《建湖县实验小学校本教研制度》以及《建湖县实验小学教科研积分考核办法（试行）》；在财力十分有限的情况下保障外出学习、网络信息等的经费支出，引领教师主动参与课题研究。

定期研讨制和个人研究任务目标包干制成为扎实课题研究的有力保障。学校将科研、教研及课改工作结合起来，坚持人人参与上课、评议，写反思、体会，个个是科研教师。我们要求课题组每位老师每学期上一堂研讨课、作一次公开发言；领导小组成员每学期要听一定数量的随堂课和推门课，对教师的课题研究、科研任务都进行详实而明确的指导。

学校定期进行课题研究工作进行评比，对成绩突出、教科研工作突出的教师进行物质和精神上的奖励，评优晋级予以倾斜，极大调动了教师参与课题研究工作的积极性，引领教师深入开展课题研究。

（二）扎实研究，逐步推进，切实做好课题研究工作

1.开展学习厚积淀

我们在实验过程中，根据课题的研究的需要，积极动员和组织课题组的核心成员和各子课题负责人认真学习《基础教育课程改革纲要》和《国家数学课程标准》，学习朱家生的《数学史概论》、顾泠沅的《数学思想方法》、张志淼的《数学学习与数学思想方法》邵光华的《作为教育任务的数学思想与方法》等与课题内容相关的理论专著和一些学术期刊，厚实教师的理论基础，为教师进行课题研究做好理论上的准备；我们组织课题组成员到南京、扬州、淮安、无锡、常州、南通等地培训学习；组织课题组成员观看省内外名师的优质课教学光盘，特别是数学思想方法渗透特别好的课，比如《平面图形的面积计算》、《搭配中的学问》、《解决问题的策略》等，并组织讨论；开设课题辅导讲座，提高课题组老师的认识。先后由课题组的谷诗新主任给全体数学教师开设了“高站位、低起点；合理把握、适时渗透”专题辅导讲座。孙开飞老师给老师们开设“数学基本思想的类型的基本类型及其教学”讲座，结合各种课型对如何渗透数学思想方法进行辅导。 

在学习中我们追求形式的多样性与结果的实效性，以个人自学与集体学习、讨论交流相结合，规定内容与自主、自由学习相结合，搞专题研究、学术沙龙等活动形式，学习过程中做好笔记。每一位教师每学期至少订阅一本主流专业杂志，精读一本理论书籍，摘记一本读书笔记，交流一次学习心得体会。通过一系列的理论学习，提升课题组成员的科研素质，把握课题研究方向，厚实教师的理论基础，为教师进行课题研究做好理论上的准备。  

2.研读教材明线索  

我们根据教师在备课中考虑知识点多一些，而考虑数学思想方法则较少；往往教材里提到的，比较明显的会加以渗透，而一些教材蕴含的思想方法不易发掘的就忽略了。因此我们组织课题组教师认真研读教材与课标，挖掘教材中隐含的数学思想方法，梳理各册教材各个单元知识中适合渗透的数学思想方法；发挥每个课题组成员的作用，让她们在各个年级备课组的教材分析中注重对教材隐含的数学思想方法的挖掘，并组织教师就渗透哪些数学思想方法、怎样渗透、渗透到什么程度进行交流探讨，提高教师对数学思想方法的认识，增强在教学中渗透数学思想方法的自觉性。  

3.关注课堂重实践  

（1）以研讨课为抓手，在同伴互助中探索  

课题组基本保证每月开一次课题研讨课。有骨干教师率先上示范课、有青年老师上研究汇报课；有专题研讨课、有自己的选题研讨课；有时是各种课型的研讨课，有时则为同课异构的研讨课，研讨课的内容与形式多样；研讨课的内容涵盖教材的不同领域，让“数学思想方法”逐步走进了课堂。开课时对课题成员实行分组，以老带青，提高研究实效。每次研讨课前，都组织教师磨课，在“实践—反思—再实践”中不断提升教师的教学水平，提高了教师在数学课堂教学中渗透思想方法的意识，不断深化对课题的认识。我们要求每位组员每月听4节随堂课，而且坚持跟踪听课、评课；坚持相互听课、评课，课后还要互相交流、探讨，并以研究的专题性作为衡量随堂课的重要标准。非课题组教师每个学期也上一节能反映课题研究成果的汇报课作为课堂教学评估的重要内容，使课题研究真正落在课堂上，通过以点带面，让全校数学教师都从研讨课中受益。  

（2）以展示课为平台，在专题研究中提升  

每次上展示课之前，我们都要进行“交流一试上一评议一修改一上课一评课一反思”这样一个过程。结合《数学基本思想在小学教学中的渗透研究》的课题研究，我们要求每次的研究课都要深入挖掘教材中隐含的数学思想，教学设计要能让学生体会数学思想思想、激发学生的思维方式，解决问题过程中是否初步形成解决问题的一些基本的思想策略，从而提高学生解决问题的思想方法和解题策略能力，把理论研究和教学实践紧密联系在一起，这样可以较好地做到教研、科研、教学实践的有机结合，更能促使教师进行研究，反思教学中的问题，从而提高教学质量。自开展实验以来，课题组利用各种机会参与展示，课题实施以来，课题组成员瞿德军、孙开飞、刘武、许春等老师共有15节课在省、市、县课堂教学竞赛中获奖或展示，有力的提升了课题组成员的研究水平。

 4.开展活动促发展  

首先开展丰富多彩的数学活动。数学活动是数学教学的重要组成部分，也是渗透数学思想方法的一种有效的形式。每年开展一次“数学文化周”活动，包括“数学家的故事”、“数学趣味游戏活动”、“数学知识竞赛”、“数学小报展评”、“我写数学小论文”等几个板块，引导同学们真正体会到数学在生活、学习中的地位与价值，激发学习兴趣。培养科学严谨、充满想象力与创造力的数学人才。利用板报介绍数学思想方法，或出专刊、或设数学角，联系教学实际介绍一些数学思想方法及其应用。在2014年省第七届“小小数学家”比赛中，我校共有407位同学获得等级奖，其中单雯、朱恩黎等十六位同学获一等奖。同时课题组成员瞿德军、孙开飞等十七位老师获优秀指导奖。

其次开展形式多样的研讨活动。自课题实施以来，在主持人谷诗新的带领下，开展了一系列的研究活动，除教学竞赛等活动外，还有“三人行”教学研讨、“思者足音”研讨、“数学思想  渗透策略”主题沙龙研究、原创试题展评、微型课题研究等活动，同时积极推行“五个一”活动，即：全体研究人员每学期读一本书、写一篇论文、上一次公开（研究）课、做一次讲座、做一次反思（或点评），这些活动的开展，有效地提高全体课题组成员的研究意识，特别是微型课题的研究，一些老师对某些教学内容形成自己独特的思考，比如孙开飞老师针对学生在学习《稍复杂的分数乘除法实际问题》时，针对学生的实际情况，提出用“整体思想”进行教学构想，使得学生对这一类问题的正确性有了大幅度的提高。

（三）认真总结，提炼升华，提升课题研究效度。 

善学需善思，善研为善教，达到以研促教，使教师在提炼总结中提升自己的专业能力。课题组引导教师在认真学习教学理论的基础上要善于思考，积极实践，鼓励教师写教学反思。反思自己教学中的闪光点或疏漏之处，记下成功之举或教学困惑，积累最宝贵的研究资料，并积极撰写教学案例、教学课例、以及教学论文等。学校还组织开展了“优秀课题研究论文评选”、“优秀课题研究案例评选”等活动，调动教师进行阶段总结的积极性，提高阶段总结的质量。

七、课题研究成果  

（一）明晰了数学基本思想的特征及其类别

通过学习研究，课题组的老师们明晰了数学基本思想具有如下特征：

1.导向性

数学思想的导向性表现在它既是数学产生和发展的根源，又是建立数学体系的基础，还是解决具体问题“向导”。正如日本学者米山国藏所说：“数学的精神、思想是创造数学著作，发现新的东西，使数学得以不断地向前发展的根源。”在解决具体问题中，数学思想往往起主导的作用，尤其是它对产生一个好“念头”、一种好“思路”、一种好“猜想”提供了方向。当然，数学思想在指示解题的方向时，还为数学方法的具体实施留有应变的余地。

2.统摄性

数学思想的统摄性主要表现在两个方面。一是优化数学知识结构。虽然数学知识数量的不同是影响学生数学能力的一个方面，但是，即是有同样数量的知识点的学生，由于知识点之间联系结构的差异，也是造成学生数学能力发展不平衡的主要因素。二是发展数学认知结构。数学思想在知识转化为能力的过程中起重要的中介作用。如果说能力是知识的结晶，那么思想往往起着结晶核的作用。学生在学习教材中的定义、定理、公式等外显知识时，若未能了解这些知识所蕴含的数学思想，则他们很难真正理解知识，深刻认识知识，因而，就会出现数学知识学了不少，但由于缺乏数学思想的统领，知识没有活性，能力就不可能得到发展的现象。另一方面，数学思想将分散的知识吸附起来，组成一个整体，并且能像滚雪球那样越滚越大。

3.概括性

人们的理性认识之所以高于感性认识，是因为理性认识能反映、揭示事物的普遍的必然的本质属性和联系，这就是理性认识的一大特点。数学思想在这方面具有突出的表现，即数学思想具有较高的概括性。概括性程度的高低决定了数学思想有层次之分，概括化程度高，其“抽象度”大；对数学对象本质属性揭示得越深刻，对问题的理解也就愈透彻。

4.迁移性

高度的概括性导致数学思想具有广泛的迁移性。这种迁移性表现在数学内部：数学思想是数学知识的精髓，这是数学知识迁移的基础和根源，是沟通数学各部分、各分支间联系的桥梁和纽带，是构建数学理论的基石。另一方面，这种迁移性表现在数学外部：它还能沟通数学与其他科学，与社会的联系，产生更加广泛的迁移。

为了更深入展开研究过程，在明晰了数学基本思想特征的基础上，课题组的老师们从各方面查找资料，相互交流，相互学习，由最初不知道什么是数学思想方法，通过上网收集、交流研讨，梳理出了小学阶段基本数学思想。小学阶段基本数学思想主要有：符号化思想、化归思想、类比思想、归纳思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想、数形结合思想、演绎推理思想、变换思想、统计与概率思想等。

（二）系统梳理了数学基本思想在小学数学教材中的体现

数学思想方法隐含在知识中，只有吃透教材，才能将其中的数学思想提取出来，以便在教学中有计划的渗透、应用，这对参与课题研究的教师提出了更高的要求。研究前期，大多数教师对教材中渗透了哪些数学思想方法知之甚少。课题组通过充分研读教材，认真交流研讨，系统梳理了基本数学思想在小学数学各个知识点的应用，（详见附页：《数学基本思想在苏教版小学数学教材中的渗透点梳理》）这样，教师不仅全方位认识、了解了小学阶段常见的数学思想，而且明确了各种数学基本思想在教材中的体现。在此基础上老师们能根据教材内容、学生年龄特点，有选择性的在课堂上渗透应用。教学不只是知识的传授，更重视数学思想方法的渗透、归纳、应用，教师们走出了数学课浅层次知识点教学，从宏观上、知识间的系统性上入手，使课堂教学更具有深度、广度。实验以来，教师驾驭教材，驾驭课堂能力提高了，学生思维变得更有条理，更有深度了。

 (三) 初步探索了“数学基本思想在课堂教学中的渗透”途径和形成过程

两年来，我们课题组的全体教师，把我们的假设和构想，经过反复的实践——总结——再实践——再总结，最终达成共识，初步归纳出教学中的渗透数学思想的途径：课前——深入分析教材，挖掘数学思想；课中——重视教学过程，渗透数学思想；课后——开展课外活动，提升数学思想。学生数学思想的形成大致经历以下过程：渗透——掌握——反思——应用——领悟，为教学中渗透数学思想方法指明了方向。

当然，数学思想方法在小学数学教学中的渗透，往往要经历一个循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种思想方法交织在一起，在教学过程中教师要依据具体情况，在某一段时间内重点渗透与明确一种数学思想方法，这样效果就会好得多。

（四）初步总结提炼出渗透数学基本思想的策略

1.在钻研教材中充分挖掘 

数学教材体系有两条基本线索：一条是数学知识，这是明线，另一条是数学思想方法，这是蕴含在教材中的暗线。小学数学教材中，无论是概念的引入、应用，还是问题的设计、解答，或是知识的复习、整理，随处可见数学思想方法的渗透和应用。因此，教师要认真分析和研究教材，理清教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴，建立各类概念、知识点之间的联系，归纳和揭示其蕴含在数学知识中的数学思想方法。 

2.在目标预设中合理确定

渗透数学思想方法，教师在进行教学预设时应抓住数学知识与思想方法的有效结合点，在教学目标中体现每个数学知识所渗透的数学思想方法。有时某一数学知识蕴含了多种思想方法，教师可根据需要和学生的认知特点有所侧重，合理确定。只有在教学预设中确定了要渗透的主要数学思想方法，教师才会去研究落实相应的教学策略，怎样渗透？渗透到什么程度？把渗透数学思想方法纳入到教学目标（过程与方法）中，把数学思想方法的要求融入到备课的每一环节，减少教学中的盲目性和随意性。

3.在知识形成中充分体验

数学思想方法蕴含在数学知识之中，尤其蕴含于数学知识的形成过程中。在学习每一数学知识时，尽可能提炼出蕴含其中的数学思想方法，即在数学知识产生形成过程中，让学生充分体验。数学思想方法呈现隐蔽形式。学生在经历知识形成的过程中，通过观察、实验、抽象、概括等活动体验到知识负载的方法、蕴涵的思想，那么学生所掌握的知识就是鲜活的、可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃

4.在方法思考中加强深究

处理数学内容要有一定的方法，但数学方法又受数学思想的制约。离开了数学思想指导的数学方法是无源之水、无本之木。因此在数学方法的思考过程中，应深究数学的基本思想。新课程所倡导的“算法多样化”的教学理念，就是让学生在经历算法多样化的学习过程中，通过对算法的归纳与优化，深究背后的数学思想，最终能灵活运用数学思想方法解决问题，让数学思想方法逐步深入人心，内化为学生的数学素养。

5.在问题解决中精心设计

在数学教学中，解题是最基本的活动形式。任何一个问题，从提出直到解决，需要具体的数学知识，但更多的是依靠数学思想方法。因此，在数学问题的探究发现过程中要精心设计，充分挖掘数学基本思想。要给学生传达这样一种策略：当遇到复杂问题时，不妨退到简单问题，然后从简单问题的研究中找到规律，最终来解决复杂问题。通过这样的解题活动，渗透探索归纳、数学建模的思想方法，使学生感受到思想方法在问题解决中的重要作用。因此，教师对数学问题的设计应从数学思想方法的角度加以考虑，尽量安排一些有助于加深学生对数学思想方法体验的问题，并注意在解决问题之后引导学生进行交流，深化对解题方法的认识。

6. 在学习反思中自主领悟 

数学思想方法的获得，一方面要求教师在教学中有意识地渗透和训练，但是更多的是要靠学生在学习反思中领悟，这是他人无法代替的。因此，教学中教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，应用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，走过哪些弯路，有哪些容易发生的错误，原因何在，该记住哪些经验教训等等。 在不断的反思和运用过程中，学生对数学思想方法的认识提高了，对数学的理解也逐步由量的变化发展到质的飞跃，学习能力得到不断发展。　　

7.在归纳总结中及时提升　　

归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法。在课堂小结、单元复习时，适时对某种数学思想方法进行概括和强化，不仅可以使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律，而且可使学生逐步体会数学思想方法的精神实质。

当然，在教学中，如果只满足于对数学思想的感悟和体验，还不足以肯定学生已领会了所用的数学思想方法。只有当学生将某一思想方法应用于新的情境，能够解决其他有关问题并有所创意时，才能肯定学生对这一数学方法有了较为深刻的认识。

（五）促进了教师的专业成长，提升了教师的业务水平

1.教师的教学理念发生显著变化

本课题的开展和实施，有力的促进教师进一步更新教育观念，接受教育新理念，加深对新课程的理解，重新建立自己的教学模式。课题组成员从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入数学目标之中，在课堂教学的各环节中有效渗透一些基本的数学思想方法。

2.教师的教科研水平得到明显提高

课题组成员以课堂为主阵地，在常态课的教学中向学生有意识地渗透合适的数学思想方法，在实践中不断摸索，不断总结，认真反思得失，总结经验，形成有价值的教学案例、片段和论文。有10篇教学论文在省级及以上刊物上发表，有20多篇论文在省市评比中获奖。（详见附页）

近两年来，课题组成员在教学实践中起着模范带头作用，11人次参加省市县竞赛课获奖或开设示范课、展示课、送教下乡等，这些展示课与观摩课都获得与会者的一致好评，通过这些典型课例的研究，使课题组老师对如何有效渗透数学思想有了清晰地认识。（详见附页）

（六）促进了学生的发展，提高学生的数学素养

课题实施以来，学生感受到了数学思想的魅力，更加热爱数学，数学基本思想的的渗透拓宽了学生的解题思路，促进了学生思维发展。在课题实验的引领下，学生的解题能力明显提高，在探究问题时能主动应用相关的数学思想方法从不同方面去思考问题。在数学思想的作用下，进一步沟通了知识之间的联系，改善了学生的认知结构，学生对知识的理解不是零散的记忆，而是有联系、有活力的认知结构，有效促进了学生数学素养的提高。在2014年省第七届“小小数学家”比赛中，我校共有四百多位同学获得等级奖，其中单雯、朱恩黎等十六位同学获一等奖。

（七）成果统计

1.经过两年多的实践，研究工作取得丰厚的成果。瞿德军老师被评为市数学学科带头人，薛正桧被评为市数学教学能手，课题组成员在省市级刊物发表研究文章十多篇，有二十多篇在省市评比中获奖，课题组共有6人在省、市、县课堂教学竞赛获一等奖，其中瞿德军老师在2014年省“杏坛杯”课堂教学竞赛中获一等奖，刘武老师在2015年省“蓝天杯”课堂教学竞赛中获一等奖，在全县范围内共开设示范课、观摩课10节。

2.其他成果统计。

（1）数学基本思想在苏教版小学数学教材中的渗透点梳理

（2）案例集

（3）论文集

八、后续的研究

三年来，我们结合实际情况认真进行实践、研究。在研究过程中，我们组员对数形结合思想有了全面的认识，在日常教学过程中，已经能够做到以理论为指导进行教育教学工作。但《数学课程标准（2011版）》小学阶段的“内容和要求”中，对渗透数学思想方法的教学要求略显笼统，对于数学思想要渗透到哪种程度还不明确。此外渗透数学思想方法是一个长期的过程，现今的考试制度也很难对其考查，所以到底可以采取怎样的方式进行评价呢？这也将有待于我们进一步的深入研究。

附：                               发表论文目录

获奖论文目录

课堂教学竞赛或观摩目录

数学基本思想在苏教版小学数学教材中的渗透点梳理

建湖县实验小学课题组

数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。因此，二者是有密切联系的。我们把二者合称为数学思想方法。数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。

数学课程标准在总体目标中明确提出：“学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”这一总体目标贯穿于小学和初中，这充分说明了数学思想方法的重要性。在小学数学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、法则、定律的理解，提高学生解决问题的能力和思维能力，也是小学数学进行素质教育的真正内涵之所在。同时，也能为初中数学思想方法的学习打下较好的基础。在小学阶段，数学思想方法主要有符号化思想、化归思想、类比思想、归纳思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想、数形结合思想、演绎推理思想、变换思想、统计与概率思想等。

一、符号化思想

符号在小学数学教材中的体现如下表：

二、化归思想

化归思想在小学数学教材中的体现如下表：

三、模型思想

模型思想在小学数学教材中的体现如下表：

四、推理思想

推理思想在小学数学教材中的体现如下表：

五、方程和函数思想

方程和函数思想小学数学教材中的体现如下表：

六、几何变换思想

几何变换思想在小学数学教材中体现如下表：

七、分类讨论思想

分类讨论思想在小学数学教材中的体现如下表：

八、统计思想

小学数学教材中统计的知识点主要有：

象形统计图、单式统计表、复式统计表、单式条形统计图、复式条形统计图、单式折线统计图、复式折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，以及不恰当的数据及统计图表可能产生误导。这些知识作为学习统计的基础是必须掌握的，但更重要的是能够根据数据的特点和解决问题的需要选择合适的统计图表或者统计量来描述和分析数据、做出合理的预测和决策。

九、概率思想

概率思想主要应用于统计与概率领域。一是小学数学第一、第二学段都安排了可能性的内容，如会求简单的等可能性随机事件发生的可能性，根据等可能性事件设计公平的游戏规则。二是统计推断中很多情况是根据对随机事件的相关数据进行分析后，再对随机事件发生的可能性大小进行预测和决策。

十、分析法和综合法

分析法和综合法作为数学的思想方法，在小学数学的各个方面都有重要的应用。首先，在四大领域的内容中，无论是低年级的数和计算、图形的认识，还是中高年级的方程和比例、统计与概率，分析法和综合法都有较多应用。如数的计算法则的学习，就是一个先分析再综合概括的过程，先一步一步地学习法则的不同方面，再综合概括成一个完整的法则。其次，在贯穿整个数学学习过程中的问题解决、判断和推理证明等方面，分析法和综合法也是无所不在。如在进行一个概念或者性质的判断时，必须先进行分析，然后才能做出判断。

十一、反证法

反证法作为一种思想方法，不仅在数学中有很多应用，在日常生活和其他学科中也有应用。数学史上有比较经典的利用反证法证明的问题，如证明是无理数，证明素数有无限多个等。在小学数学中，反证法的应用不多，在抽屉原理等问题中有一些应用。

十二、集合思想

集合思想在小学数学教材的很多内容中进行了渗透。在数的概念方面，如自然数可以从对等集合基数（元素的个数）的角度来理解，再如在一年级通过两组数量相等的实物建立一一对应，让学生理解“同样多”的概念，实际上就是两个对等集合的元素之间建立一一对应；数的运算也可以从集合的角度来理解，如加法可以理解为两个交集为空集的集合的并集，再如求两数相差多少，通过把代表两数的实物图或直观图一对一地比较，来帮助学生理解用减法计算的道理；实际上就是把代表两数的实物分别看作集合Ａ、Ｂ，通过把Ａ的所有元素与Ｂ的部分元素建立一一对应，然后转化为求Ｂ与其子集（与Ａ等基）的差集的基数。此外，在小学数学中还经常用集合图表示概念之间的关系，如把所有三角形作为一个整体，看作一个集合，记为Ａ；把锐角三角形、直角三角形和钝角三角形各自看作一个集合，分别记为Ｂ、Ｃ、Ｄ，这三个集合就是集合Ａ的三个互不相交的子集，Ｂ、Ｃ、Ｄ的并集就是Ａ。再如在学习公因数和公倍数时，都是通过把两个数各自的因数和倍数分别用集合图表示，再求两个集合的交集，直观地表示了公因数和公倍数的概念。

十三、数形结合思想

数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系，可称之为 “以形助数”。数形结合思想在中学数学的应用主要体现在以下几个方面：(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图象的对应关系；(3)曲线与方程的对应关系；(4)与几何有关的知识，如三角函数、向量等；(5)概率统计的图形表示；(6) 在数轴上表示不等式的解集；(7)数量关系式具有一定的几何意义，如s=100t。

数形结合思想在小学数学的四大领域知识的学习中都有非常普遍和广泛的应用，主要体现在以下几个方面：一是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题，如从低年级借助直线认识数的顺序，到高年级的画线段图帮助学生理解实际问题的数量关系。二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透，如数轴、位置、正反比例关系图象等，使学生体会代数与几何之间的联系。这方面的应用虽然比较浅显，但这正是数形结合思想的重点所在，是中学数学的重要基础。三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现，统计图表把抽象的枯燥的数据直观地表示出来，便于分析和决策。四是用代数(算术)方法解决几何问题。如角度、周长、面积和体积等的计算，通过计算三角形内角的度数，可以知道它是什么样的三角形等等。

十四、极限思想

极限思想在小学数学教材中的应用和渗透，主要体现在以下几点。

1.在数的认识中体会有限与无限的思想。

小学生从一年级开始就认识自然数0，1，2，3，…同时知道每个自然数加1就等于它的后继数。到了认识亿以内的数时，进一步知道了最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。也就是说，任意给定一个足够大的自然数N，只需要把它加1就会得到一个更大的自然数N+1，N+1>N，所以总是找不到一个最大的自然数，从而体会到自然数数列的无限多和趋向无穷大。由此可以推广到奇数、偶数、一个数的倍数、两个数的公倍数等都没有最大的，都有无限多个。在学习分数的基本性质时，学生知道分母不同、分数值相等的分数有无限多个。在学习小数时，首先认识的是有限小数，然后认识无限循环小数，还知道圆周率是无限不循环小数。

2.在数的计算中体会极限思想。

小学数学学习的数的计算一般都是经过有限的几步计算就可以解决的问题，另外，作为知识的拓展，可适当介绍一些无限多个数相加的问题，如在数形结合思想中曾经介绍了无穷多个分数相加的问题，本文不再赘述。我国古代思想家庄子曾说过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话可用下面的数学语言来描述“长度为单位1的线段，第一天取走全长的一半，以后每天取走剩下的一半，永远有剩余”，用无穷等比递缩数列的和来表示取走的长度，就是数形结合思想中的案例。另外，循环小数化分数的问题，也可以利用极限思想和数形结合思想来计算。

3.在认识图形时渗透无限的思想。

与自然数数列的趋向于无穷大类似，有些图形也具有无限长的特性，如直线、射线、角的边、平行线等，都具有无限延伸的特性，可以渗透无限的思想。

4.在圆的面积、圆柱的体积的计算中渗透极限思想。

如上所述，在小学数学中，圆的面积不能象求长方形的面积那样直接利用公式计算、圆柱的体积不能象长方体那样直接利用公式计算，利用极限思想可以解决这些问题。如圆的面积的计算，先把圆平均分成若干等份，拼成近似的长方形，但它还不是长方形，仍然无法直接按照求长方形面积的方法来求；因为把一个圆不论进行怎样细小的有限次的分割拼补，都无法真正拼成一个长方形；这时只有借助极限思想，把圆分割的越细小所拼成的图形就越接近于长方形,可以这样无限地分下去，拼成的图形面积就越趋向于长方形的面积，最后通过取极限来得到它的面积。也就是说，极限思想是这样操作的理论基础和计算精确性的保证，也是极限思想在小学数学中最完美的体现。

十五、假设法

假设法在小学数学中的应用比较普遍，例如在有关分数的实际问题，比和比例的实际问题，鸡兔同笼问题，逻辑推理问题，图形的周长、面积和体积等问题中都有应用。

数学思想方法不同于一般的概念和技能，后者一般通过短期的训练便能掌握，数学思想方法的教学更应该是一个通过长期的渗透和影响才能够形成思想和方法的过程。最后，把课题组非常欣赏的杜甫的诗句“好雨知时节，当春乃发生。随风潜入夜，润物细无声…”送给老师们，希望数学思想方法的教学能够象春雨一样，滋润着学生的心田。